si \(\Omega\) est fini : $$\forall A,B\in{\mathcal P}(\Omega), A\cap B=\varnothing,\quad\Bbb P(A\cup B)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)$$
si \(\Omega\) est infini : \(\Bbb P\) est \(\sigma\)-additive : pour toute famille \((A_n)_{n\in I}\) d'événements \(2\) à \(2\) incompatibles, la série \(\sum_{n\in I}\Bbb P(A_n)\) converge et $$\Bbb P\left({\bigcup_{n\in I}A_n}\right)=\sum_{n\in I}\Bbb P(A_n)$$
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie : $$P({{\Omega}})={{1}}$$
(Evènement certain)
Probabilité de l'évènement impossible
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie : $$P({{\varnothing}})={{0}}$$
(Evènement impossible)
Additivité
Propriété d'additivité :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :
Si \(A\cap B=\varnothing\), alors $$P({{A\cup B}})={{P(A)+P(B)}}$$
Propriété d'additivité :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :
Si \(A_1,\ldots,A_n\in\mathcal F\) sont deux à deux disjoints, alors $$P\left({{\bigcup^n_{i=1}A_i}}\right)={{\sum^n_{i=1}P(A_i)}}$$
(Additivité - Fonction additive)
Complémentaire
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :$$\forall A\in\mathcal F,\qquad P({{A^C}})={{1-P(A)}}$$
(Négation, Complémentaire)
Croissance
Propriété de croissance :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie : $${{A\subset B}}\implies {{P(A)\leqslant P(B)}}$$
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :
Pour toute suite croissante d'événements \(B_1\subset B_2\subset\ldots\), $$P\left({{\bigcup^{+\infty}_{n=1}B_n}}\right)={{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } P(B_n)}}$$
Suite décroissante d'événements
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :
Pour toute suite décroissante d'événements \(C_1\supset C_1\supset\ldots\), $$P\left({{\bigcap^{+\infty}_{n=1}C_n}}\right)={{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } P(C_n)}}$$
La démonstration se fait de la même manière que pour les suites croissantes d'événements, en posant \(C_i=B_i^C\)
Inégalités
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie :$${{P(A\cup B)}}\leqslant {{P(A)+P(B)}}$$
Propriété :
Toute probabilité \(P\) sur \((\Omega,\mathcal F)\) vérifie : $$\begin{align} {{P\left(\bigcup^n_{i=1}A_i\right)}}&\leqslant{{\sum^n_{i=1}P(A_i)}}\\ {{P\left(\bigcup^{+\infty}_{i=1}A_i\right)}}&\leqslant{{\sum^{+\infty}_{i=1}P(A_i)}}\end{align}$$